la successione di fibonacci

Oggi parliamo della successione di Fibonacci. Voi direte ammazza che palle, parlane tu ciao. No no, giuro che è fichissimo, parleremo di conigli, fiorellini, conchigliette e generatori di numeri casuali.

CHE COS’È UNA SUCCESSIONE

Iniziamo quindi a definire formalmente che cos’è una successione (ho detto che era fichissimo, non che non c’era la fregatura). Una successione è una sequenza infinita e ordinata di numeri. Ovvero ci sono un sacco un sacco di numeri uno dopo l’altro, tra i quali posso distinguere chi è il primo, chi il secondo, il terzo e così via. La regola per distinguere gli elementi identifica e definisce la successione stessa.

Facciamo un paio di esempi: la sequenza di numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, … eccetera eccetera è una successione. Anche la sequenza ottenuta dividendo 1 per la sequenza di sopra è una successione. I numeri che si ottengono in questo modo si chiamano inversi dei numeri di partenza, ovvero per esempio ½ è l’inverso di 2. Agli elementi della successione numero 1, 2, 3, 4, 5, 6, … corrispondono quindi i numeri 1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, … .

Ovviamente la cosa si può complicare a piacere con regole molto più barocche, e inoltre quale sia l’arcano movente che spinge qualcuno ad inventarsi una cosa del genere non è qui rilevante, ma spero che a questo punto il concetto sia chiaro: per definire una successione devo definire una regola che trasformi i numeri interi 1, 2, 3, 4, 5, 6 e così via in ordine, in qualcos’altro a mio piacere.

Nei miei due esempi, ho definito queste due regole qua: la prima non fa assolutamente nulla, ovvero lascia le cose come stanno, trasformando un numero in se stesso. L’elemento numero 1 rimane quindi 1, l’elemento numero 2 è 2, e così via: specchio riflesso, gngngngn. La seconda regola calcola l’inverso (ovvero la regola “uno diviso”) del mio numero ovvero è la regola “prendi uno e lo dividi per il numero che hai pensato”: 1/1=1, ½, ⅓…

La successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci è niente di più niente di meno che una roba di questo tipo, di quelle appunto in cui la regola è un po’ più complicata, ma in realtà manco tanto: definisco io arbitrariamente una regola F (F1 sarà la regola del gioco per il numero 1, F2 per il numero 2, e così via), che fisso io per ciascun numero, in questo modo qua:

F1=1

F2=1

e da qui in poi ogni termine è la somma dei due precedenti, ovvero

F3=F2+F1=2

F4=F3+F2=3

F5=F4+F3=5

e così via.

A parte i primi due termini quindi, quelli per i numeri più grandi di 2 si possono scrivere tutti sinteticamente in questa forma qua, dove n indica un numero qualsiasi:

Fn=Fn.1+Fn-2

Così per chiarezza vi scrivo i primi 12 numeri numeri della successione di Fibonacci, potete controllare per giUoco: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Il problema dei conigli

Torniamo ora al nostro amico Fibonacci, che in realtà si chiamava Leonardo Pisano, così soprannominato dal latino figlio di (Guglielmo) Bonacci, scrisse questa legge per risolvere uno spinoso problema di conigli:

Immaginiamo di mettere una coppia di conigli in una gabbia. Supponiamo poi che una coppia di conigli possa generare una e una sola altra coppia di conigli al mese. Sappiamo poi che ciascuna coppia diventa fertile solo al secondo mese di vita, e i conigli hanno una vita mooooolto lunga (ovvero durante questo articolo non ne muore nessuno, belli i miei coniglietti <3 ).

Quante saranno le coppie dei nostri incestuosi conigli mese dopo mese, fino ad arrivare a un anno?

Contiamole:

Al tempo iniziale ho una coppia di conigli. Il primo valore del numero delle coppie di conigli, corrispondente al primo mese del mio esperimento, è 1 (una coppia).

Dopo un mese, i conigli sono ancora sterili. Il mio secondo termine (secondo mese) rimane quindi così com’è, ovvero è 1.

Dopo un altro mese, i conigli finalmente coniglieranno. Le nostre coppie sono ora 2, che è il valore del terzo termine.

Un altro mese, e la prima coppia di conigli potrà nuovamente conigliare generando una nuova coppia, mentre la coppia che compie ora un mese di età ancora nada, quindi il quarto termine è 3, quella originaria + i loro primogeniti + i loro secondogeniti.

Al quarto mese, sia gli Adamo ed Eva dei conigli che i loro primi due figli coniglieranno, le coppie salgono quindi a 5, le 3 che avevamo il mese prima più 2 nuove, figlie rispettivamente della coppia originale e dei loro primogeniti.

Passa un altro mese e di nuovo tutte le coppie meno le due nate da solo un mese, che sono ancora troppo giovani, generano una nuova coppia, quindi sono 5 coppie del mese prima più 3 nuove = 8 coppie.

Il mese successivo coniglieranno tutte le coppie meno quelle troppo giovani ovvero le 3 neonate, quindi 8+5=13 coppie.

Eeeeccetera eccetera, fino a quando dopo un anno avremo 144 allegre coppie di promiscui conigli.

La sequenza delle coppie segue proprio quella che verrà chiamata la successione di Fibonacci.

La successione di Fibonacci nella natura

E i conigli li abbiamo coperti. Mò però che c’entravano le conghigliette e i fiorellini?

Serve ancora un altro sforzo matematico e ci arriviamo.

Possiamo definire una nuova successione come la successione del rapporto tra un numero della successione di Fibonacci e il precedente. Eh? facile: i numeri della successione di Fibonacci erano 1, 1, 2, 3, 5, …., 89, 144… eccetera, quindi, partendo dal secondo, divido ogni termine per quello prima: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, … 144/89 ecc ecc. Si può dimostrare, ma ve lo risparmio, che questo rapporto tende a un numero magico magicissimo, detto sezione aurea, ovvero il numero irrazionale 1,6180339887 e spiccioli.

Ah. Embè?

Qui entriamo nella mitologia prima e nella storia poi, che vogliono che questo numero spunti fuori un po’ ovunque. Dall’esoterico e pitagorico pentagono, figura ottenuta componendo triangoli aurei, dove il numero aureo viene fuori dal rapporto tra la diagonale e il lato, al rapporto tra l’altezza e il semilato della grande piramide di Cheope, ai rettangoli aurei (ovvero rettangoli in cui il rapporto tra i lati è pari alla sezione aurea) ubiqui nel progetto del Partenone, e in effetti anche se prendete il numero di caratteri di questo testo, lo moltiplicate per la sezione aurea, e dividete per il numero di caratteri di questo testo, ottenete la sezione aurea – nel senso, a volte c’è del vero, a volte il vero viene un po’ forzatello. Dopo qualche secolo di oblio, nel 1200 questo numero torna di moda grazie appunto al nostro Fibonacci. Da lì in poi lo ritroviamo ad esempio nel rapporto tra il lato del quadrato e il raggio del cerchio in cui è inscritto l’uomo Vitruviano di Leonardo, ed in varie altre sue opere.

E in natura? In botanica ritroviamo successioni di Fibonacci, numeri aurei, rapporti aurei, angoli aurei e aurei aurei, un po’ ovunque: dall’angolo tra due foglie nate successivamente nelle piante, che misurato sperimentalmente risulta pressoché costante e pari a 137,5o, in grado di garantire un uso ottimale della luce solare (l’angolo aureo si ottiene dividendo una circonferenza in due archi tra di loro in proporzione aurea), alle infiorescenze del broccolo romanesco o del centro del girasole, disposti secondo spirali auree, la stessa ad esempio delle conchiglie del nautilus.

Questa spirale aurea poi raggiunge il non plus ultra del misticismo math inspired: praticamente si disegna un rettangolo aureo e poi lo si affetta in modo da avere un quadrato di lato uguale al lato più corto del rettangolo, e quel che resta è un altro rettangolo con i lati (guarda un po’!) in rapporto aureo, e così via affettando. Se disegniamo la curva che passa per i vertici successivi di questa strana figura otteniamo una spirale di Fibonacci, che è una buona approssimazione di una spirale aurea (di cui vi risparmio la formula tanto la trovate ovunque se siete curiosi) il cui irraggiungibile centro viene anche talvolta chiamato – tenetevi forte – l’occhio di Dio.

Last but not least, la successione di Fibonacci in informatica è alla base di alcuni algoritmi per la generazione di numeri casuali. Un generatore di numeri casuali è un coso (e tipicamente il coso è un algoritmo) in grado di produrre una sequenza di numeri idealmente del tutto a caso, o quantomeno molto molto difficili da predire. Voi direte, e che ci fa uno con un generatore di numeri a caso?

Il discorso è un po’ lungo, ne parleremo in una prossima puntata…

 

Autrice: Benedetta Cerruti